Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{x + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$