Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 2} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Schritt 3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Schritt 7

Schreibe $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ als $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ um.

$- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$