Analysis Beispiele

$y = \cos (X^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \cos (X)$ und $g (X) = X^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $X^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $X^{2}$ .

$- \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \sin (X^{2}) (2 X)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (X^{2}) X$

Schritt 1.2.2.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \sin (X^{2}) X$ um.

$f' (X) = - 2 X \sin (X^{2})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $- 2 X \sin (X^{2})$ nach $X$ gleich $- 2 \frac{d}{d X} [X \sin (X^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d X} [X \sin (X^{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (X) g (X)]$ gleich $f (X) \frac{d}{d X} [g (X)] + g (X) \frac{d}{d X} [f (X)]$ ist mit $f (X) = X$ und $g (X) = \sin (X^{2})$ .

$- 2 (X \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})] + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \sin (X)$ und $g (X) = X^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $X^{2}$ .

$- 2 (X (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 2 (X (\cos (u) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $X^{2}$ .

$- 2 (X (\cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (X (\cos (X^{2}) (2 X)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.5

Potenziere $X$ mit $1$ .

$- 2 (X^{1} X (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.6

Potenziere $X$ mit $1$ .

$- 2 (X^{1} X^{1} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (X^{1 + 1} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 (X^{2} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (X^{2})$ .

$- 2 (X^{2} (2 \cdot \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (X^{2} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\sin (X^{2})$ mit $1$ .

$- 2 (X^{2} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}))$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (X^{2} (2 \cos (X^{2}))) - 2 \sin (X^{2})$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (X) = - 4 X^{2} \cos (X^{2}) - 2 \sin (X^{2})$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 X^{2} \cos (X^{2}) - 2 \sin (X^{2})$ nach $X$ $\frac{d}{d X} [- 4 X^{2} \cos (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$ .

$\frac{d}{d X} [- 4 X^{2} \cos (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d X} [- 4 X^{2} \cos (X^{2})]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $- 4 X^{2} \cos (X^{2})$ nach $X$ gleich $- 4 \frac{d}{d X} [X^{2} \cos (X^{2})]$ .

$- 4 \frac{d}{d X} [X^{2} \cos (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (X) g (X)]$ gleich $f (X) \frac{d}{d X} [g (X)] + g (X) \frac{d}{d X} [f (X)]$ ist mit $f (X) = X^{2}$ und $g (X) = \cos (X^{2})$ .

$- 4 (X^{2} \frac{d}{d X} [\cos (X^{2})] + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \cos (X)$ und $g (X) = X^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $X^{2}$ .

$- 4 (X^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $X^{2}$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 4 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}) X) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $X^{2}$ mit $X$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.7.1

Bewege $X$ .

$- 4 (X \cdot X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.7.2

Mutltipliziere $X$ mit $X^{2}$ .

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Schritt 3.2.7.2.1

Potenziere $X$ mit $1$ .

$- 4 (X^{1} X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (X^{1 + 2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.2.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (X^{2})$ nach $X$ gleich $- 2 \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})]$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \sin (X)$ und $g (X) = X^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $X^{2}$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d X} [X^{2}])$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $X^{2}$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\cos (X^{2}) (2 X))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2}))) - 4 (\cos (X^{2}) (2 X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$8 (X^{3} (\sin (X^{2}))) - 4 (\cos (X^{2}) (2 X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$8 X^{3} \sin (X^{2}) - 8 (\cos (X^{2}) (X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Schritt 3.4.2.3

Subtrahiere $4 \cos (X^{2}) X$ von $- 8 \cos (X^{2}) X$ .

$8 X^{3} \sin (X^{2}) - 12 \cos (X^{2}) X$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f''' (X) = 8 X^{3} \sin (X^{2}) - 12 X \cos (X^{2})$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 X^{3} \sin (X^{2}) - 12 X \cos (X^{2})$ nach $X$ $\frac{d}{d X} [8 X^{3} \sin (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$ .

$\frac{d}{d X} [8 X^{3} \sin (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d X} [8 X^{3} \sin (X^{2})]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $8 X^{3} \sin (X^{2})$ nach $X$ gleich $8 \frac{d}{d X} [X^{3} \sin (X^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d X} [X^{3} \sin (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (X) g (X)]$ gleich $f (X) \frac{d}{d X} [g (X)] + g (X) \frac{d}{d X} [f (X)]$ ist mit $f (X) = X^{3}$ und $g (X) = \sin (X^{2})$ .

$8 (X^{3} \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})] + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \sin (X)$ und $g (X) = X^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $X^{2}$ .

$8 (X^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$8 (X^{3} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $X^{2}$ .

$8 (X^{3} (\cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (X^{3} (\cos (X^{2}) (2 X)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 (X^{3} (\cos (X^{2}) (2 X)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.6

Multipliziere $X^{3}$ mit $X$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.6.1

Bewege $X$ .

$8 (X \cdot X^{3} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.6.2

Mutltipliziere $X$ mit $X^{3}$ .

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Schritt 4.2.6.2.1

Potenziere $X$ mit $1$ .

$8 (X^{1} X^{3} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (X^{1 + 3} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$8 (X^{4} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (X^{2})$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $X$ ist, ist die Ableitung von $- 12 X \cos (X^{2})$ nach $X$ gleich $- 12 \frac{d}{d X} [X \cos (X^{2})]$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 \frac{d}{d X} [X \cos (X^{2})]$

Schritt 4.3.2

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X \frac{d}{d X} [\cos (X^{2})] + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ ist $f' (g (X)) g' (X)$ , mit $f (X) = \cos (X)$ und $g (X) = X^{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $X^{2}$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $X^{2}$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ gleich $n X^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- 2 \sin (X^{2}) X) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.3.7

Potenziere $X$ mit $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{1} X (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.3.8

Potenziere $X$ mit $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{1} X^{1} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{1 + 1} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Schritt 4.3.11

Mutltipliziere $\cos (X^{2})$ mit $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}))$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2}))) + 8 (\sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}))$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2}))) + 8 (\sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Schritt 4.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 (X^{4} (\cos (X^{2}))) + 8 (\sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$16 X^{4} \cos (X^{2}) + 24 (\sin (X^{2}) (X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Schritt 4.4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$16 X^{4} \cos (X^{2}) + 24 \sin (X^{2}) X^{2} + 24 (X^{2} (\sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Schritt 4.4.3.4

Addiere $24 \sin (X^{2}) X^{2}$ und $24 X^{2} \sin (X^{2})$ .

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Schritt 4.4.3.4.1

Bewege $\sin (X^{2})$ .

$16 X^{4} \cos (X^{2}) + 24 X^{2} \sin (X^{2}) + 24 X^{2} \sin (X^{2}) - 12 \cos (X^{2})$

Schritt 4.4.3.4.2

Addiere $24 X^{2} \sin (X^{2})$ und $24 X^{2} \sin (X^{2})$ .

$f^{4} (X) = 16 X^{4} \cos (X^{2}) + 48 X^{2} \sin (X^{2}) - 12 \cos (X^{2})$