Analysis Beispiele

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $6 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x^{2} y'$ heraus.

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ heraus.

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x y$ heraus.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x (- 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.6.1

Schreibe $- (x + 2 y)$ als $- 1 (x + 2 y)$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$