Analysis Beispiele

$\int_{4}^{9} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ als ein Produkt um.

$\int_{4}^{9} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (y)$ und $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

Schritt 3.2

Kombiniere $y^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{y}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

Schritt 3.4

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 3.5

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 3.5.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

Schritt 3.5.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - (2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 5.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} y^{- \frac{1}{2}} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{4}^{9} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ bei $9$ und $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 7.2

Berechne $2 y^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $4$ .

$(\ln (9) (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}})) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\ln (9) (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (9) (2 \cdot 3^{1}) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.4

Berechne den Exponenten.

$\ln (9) (2 \cdot 3) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\ln (9) \cdot 6 - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\ln (9)$ .

$6 \cdot \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.10

Berechne den Exponenten.

$6 \ln (9) - \ln (4) (2 \cdot 2) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \ln (9) - \ln (4) \cdot 4 - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.13

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.16

Berechne den Exponenten.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.18

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.3.19

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 7.3.20

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.20.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 7.3.20.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Schritt 7.3.21

Berechne den Exponenten.

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 2 \cdot 2)$

Schritt 7.3.22

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 (6 - 4)$

Schritt 7.3.23

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 2 \cdot 2$

Schritt 7.3.24

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 \ln (9) - 4 \ln (4) - 4$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$6 \ln (9) - 4 \ln (2^{2}) - 4$

Schritt 8.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$6 \ln (9) - 4 (2 \ln (2)) - 4$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 \ln (9) - 8 \ln (2) - 4$

Dezimalform:

$3.63817001 \dots$