Analysis Beispiele

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$u_{upper} = 81$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $81$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $9$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1458$ und $3$ .

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Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $1458$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7.2.4

Dividiere $486$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 6.2.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.13

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Schritt 6.2.14

Addiere $486$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Schritt 6.2.15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $486$ .

$\frac{486}{3}$

Schritt 6.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $486$ und $3$ .

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Schritt 6.2.16.1

Faktorisiere $3$ aus $486$ heraus.

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Schritt 6.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Schritt 6.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{162}{1}$

Schritt 6.2.16.2.4

Dividiere $162$ durch $1$ .

$162$

Schritt 7