Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$