Analysis Beispiele

$\int \tan^{3} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus.

$\int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 7

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$