Analysis Beispiele

$y = \sin (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ um.

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $x y' \cos (x y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' - x y' \cos (x y)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' \cos (x y)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ heraus.

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ durch $1 - x \cos (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ durch $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x \cos (x y)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$