Analysis Beispiele

${(x + x^{- 1})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + x^{- 1}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x^{- 1}$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{- 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.3

Schreibe ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ als $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ um.

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4

Multipliziere $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.4

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.5.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.8

Multipliziere $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.9.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.5

Multipliziere $6 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Schritt 3.9.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.5.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.7

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{2}}$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.9.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.9.9

Multipliziere $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.9.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{3}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 3.9.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.9.9.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

Schritt 3.9.9.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 3.11

Addiere $- 6$ und $3$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 3.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Schritt 3.12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 3.13

Addiere $- 3$ und $6$ .

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$