Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} x \sin (x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1^{2}$

Schritt 1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 2^{2}$

Schritt 1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{4} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{1}^{4}$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $4$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (4) + \cos (1))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Berechne $\cos (4)$ .

$\frac{1}{2} (- - 0.65364362 + \cos (1))$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.65364362$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + \cos (1))$

Schritt 6.1.3

Berechne $\cos (1)$ .

$\frac{1}{2} (0.65364362 + 0.5403023)$

Schritt 6.2

Addiere $0.65364362$ und $0.5403023$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1.19394592$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $1.19394592$ .

$\frac{1.19394592}{2}$

Schritt 6.4

Dividiere $1.19394592$ durch $2$ .

$0.59697296$