Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x} (x - 3)}{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x - 3)}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + (x - 3) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 11.3.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.10

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{6 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 (1)}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 11.3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 11.3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.12

Um $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.13

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{6} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.16

Kombiniere $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{3}$ und $6$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 6}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.17

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.18

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 (1)} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{3 (2 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.19.4

Dividiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.20

Addiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.21

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (x^{\frac{1}{2}})}{6} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.22

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.22.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.22.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3.22.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$