Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Dann ist $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ , folglich $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 1.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x^{5}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x^{4}}$ ein.

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{1}{x^{4}}$ ein.

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

Schritt 1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- \frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $\frac{1}{16}$ und $1$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{\frac{1}{16}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

Schritt 5.3

Multipliziere $- \frac{1}{4} (- e)$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Dezimalform:

$0.41344684 \dots$

Schritt 7