Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{9 x^{2} + 16} d x$

Schritt 1

Stelle $9 x^{2}$ und $16$ um.

$\int \frac{1}{16 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 2

Faktorisiere $9$ aus $16 + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus $16$ heraus.

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (\frac{16}{9}) + 9 (x^{2})$ heraus.

$\int \frac{1}{9 (\frac{16}{9} + x^{2})} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{16}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 4

Schreibe $\frac{16}{9}$ als ${(\frac{4}{3})}^{2}$ um.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{\frac{4}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{4}{3}$ zu dividieren.

$\frac{1}{9} (1 (\frac{3}{4}) \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x}{\frac{4}{3}}) + C)$

Schritt 6.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{4}{3}$ zu dividieren.

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (x \frac{3}{4}) + C)$

Schritt 6.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{x \cdot 3}{4}) + C)$

Schritt 6.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3}{4} \arctan (\frac{3 \cdot x}{4}) + C)$

Schritt 6.1.6

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\arctan (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{1}{9} (\frac{3 \arctan (\frac{3 x}{4})}{4} + C)$ als $\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$ um.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{9 \cdot 4} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{3}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $36$ .

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{36} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Schritt 6.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Schritt 6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$

Schritt 6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12} \arctan (\frac{3}{4} x) + C$