Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{\ln^{2} (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{3} \ln^{2} (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{3} \ln^{2} (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{3} \ln^{2} (x) x^{- 3} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln^{2} (x)$ und $d v = x^{- 3}$ .

$\ln^{2} (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\ln^{2} (x)$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{\ln (x^{2})}{x (2 x^{2})} d x$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{\ln (x^{2})}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{1 + 2}} d x$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}} d x$

Schritt 4

Schreibe $- \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}}$ als $- \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}}$ um.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - - \int_{1}^{3} \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - - \int_{1}^{3} \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Schritt 6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - - \int_{1}^{3} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + 1 \int_{1}^{3} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $\int_{1}^{3} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \ln (x) x^{- 3} d x$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Schritt 8.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} - - \int_{1}^{3} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + 1 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\int_{1}^{3} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 12

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 12.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 12.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 12.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Kombiniere $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3}$ und $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}$

Schritt 14.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Berechne $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ bei $3$ und $1$ .

$(- \frac{\ln^{2} (3)}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{\ln (3)}{2 \cdot 3^{2}}) - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3}$

Schritt 14.2.2

Berechne $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ bei $3$ und $1$ .

$(- \frac{\ln^{2} (3)}{2 \cdot 3^{2}} - \frac{\ln (3)}{2 \cdot 3^{2}}) - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3

Vereinfache.

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Schritt 14.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{2 \cdot 9} - \frac{\ln (3)}{2 \cdot 3^{2}} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{2 \cdot 3^{2}} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{2 \cdot 9} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{18} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1^{2}} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{18} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{18} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{18} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - \frac{\ln (3)}{18} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.9

Um $- (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{18}{18}$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2}) \cdot \frac{18}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.10

Kombiniere $- (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})$ und $\frac{18}{18}$ .

$- \frac{\ln^{2} (3)}{18} + \frac{- (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2}) \cdot 18}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln^{2} (3) - (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2}) \cdot 18}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.12

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.13

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.16

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 14.2.3.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 14.2.3.18

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Schritt 14.2.3.19

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Schritt 14.2.3.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.2.3.20.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Schritt 14.2.3.20.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Schritt 14.2.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

Schritt 14.2.3.22

Addiere $- 1$ und $9$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{18}$

Schritt 14.2.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $18$ .

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Schritt 14.2.3.23.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

Schritt 14.2.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.3.23.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 14.2.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 14.2.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 14.2.3.24

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{9}$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{4}{2 \cdot 9}$

Schritt 14.2.3.25

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{4}{18}$

Schritt 14.2.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $18$ .

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Schritt 14.2.3.26.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{2 (2)}{18}$

Schritt 14.2.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.3.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 14.2.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Schritt 14.2.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2})}{18} - \frac{\ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (- \frac{\ln^{2} (1)}{2} - \frac{\ln (1)}{2}) - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 \frac{- \ln^{2} (1) - \ln (1)}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 \frac{- 0^{2} - \ln (1)}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 \frac{- 0 - \ln (1)}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 \frac{0 - \ln (1)}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.2.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 \frac{0 - 0}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 \frac{0 + 0}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - 18 (\frac{0}{2}) - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{- \ln^{2} (3) + 2 (- 9) \frac{0}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \ln^{2} (3) + 2 \cdot - 9 \frac{0}{2} - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \ln^{2} (3) - 9 \cdot 0 - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.2.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) + 0 - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.3

Addiere $- \ln^{2} (3)$ und $0$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln^{2} (3) - \ln (3)$ heraus.

$\frac{- (\ln^{2} (3) + \ln (3))}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln^{2} (3) + \ln (3)}{18} + \frac{2}{9}$

Schritt 15.5

Um $\frac{2}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (3) + \ln (3)}{18} + \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 15.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (3) + \ln (3)}{18} + \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2}$

Schritt 15.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (3) + \ln (3)}{18} + \frac{2 \cdot 2}{18}$

Schritt 15.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (\ln^{2} (3) + \ln (3)) + 2 \cdot 2}{18}$

Schritt 15.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \ln^{2} (3) - \ln (3) + 2 \cdot 2}{18}$

Schritt 15.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \ln^{2} (3) - \ln (3) + 4}{18}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{- \ln^{2} (3) - \ln (3) + 4}{18}$

Dezimalform:

$0.09413548 \dots$