Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2} + 1$ und $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Schritt 8

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ bei $1$ und $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Schritt 11.2

Berechne $x (- e^{- x})$ bei $1$ und $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Schritt 11.3

Berechne $e^{u}$ bei $- 1$ und $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.6

Addiere $0$ und $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.15

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.17

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.18

Addiere $- e^{- 1}$ und $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Schritt 11.4.19

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Schritt 11.4.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Schritt 12.1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Schritt 12.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Schritt 12.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Schritt 12.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Schritt 12.1.6

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Schritt 12.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Schritt 12.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Schritt 12.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Schritt 12.1.10

Multipliziere $2 (- \frac{2}{e})$ .

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Schritt 12.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Schritt 12.1.10.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Schritt 12.1.10.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Schritt 12.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

Schritt 12.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

Schritt 12.3

Subtrahiere $4$ von $- 2$ .

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

Schritt 12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

Schritt 12.5

Addiere $1$ und $2$ .

$3 - \frac{6}{e}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$3 - \frac{6}{e}$

Dezimalform:

$0.79272335 \dots$

Schritt 14