Analysis Beispiele

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Der genau Wert von

\sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Der Ausdruck enthält eine Division durch

0

$0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Differenziere den Zähler und Nenner.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Die Ableitung von

\sin (x)

$\sin (x)$ nach

x

$x$ ist

\cos (x)

$\cos (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Dividiere

\cos (x)

$\cos (x)$ durch

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Berechne den Grenzwert von

x

$x$ durch Einsetzen von

0

$0$ für

x

$x$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

Der genau Wert von

\cos (0)

$\cos (0)$ ist

1

$1$ .

1

$1$