Analysis Beispiele

$\frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ heraus.

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Schritt 2.4.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (1 - \ln (x)) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.6.2.1.2

Multipliziere $- 2 (- \ln (x))$ .

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Schritt 2.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.2.1.2.2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.6.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.6.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 2.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 - \ln (x) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x) = - 1$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Schritt 5.3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $\ln (x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Schritt 5.3.5

Schreibe die Gleichung als $x = e^{1}$ um.

$x = e$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = e$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = e$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Schritt 9.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Schritt 9.5

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Schritt 10

$x = e$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = e$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = e$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e$ .

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13