Analysis Beispiele

$g (t) = \frac{t}{t - 8}$ on $10$ , $12$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $t - 8$ mit $1$ .

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.3

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.6.4.1

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (t) = - \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $g (t)$ nach $t$ ist $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Setze $t - 8$ gleich $0$ .

$t - 8 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 8$

Schritt 1.4

Werte $\frac{t}{t - 8}$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $t = 8$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $t$ durch $8$ .

$\frac{8}{(8) - 8}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{8}{0}$

Schritt 1.4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.5

Es gibt keine Werte von $t$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $t = 10$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $t$ durch $10$ .

$\frac{10}{(10) - 8}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $(10) - 8$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (5)}{(10) - 8}$

Schritt 2.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 5 - 8}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (5)}{2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4}$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (5)}{2 \cdot (5 - 4)}$

Schritt 2.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot (5 - 4)}$

Schritt 2.1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{5 - 4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\frac{5}{1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5$

Schritt 2.2

Berechne bei $t = 12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $t$ durch $12$ .

$\frac{12}{(12) - 8}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $(12) - 8$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (3)}{(12) - 8}$

Schritt 2.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3 - 8}$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{4 (3)}{4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2}$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{4 (3)}{4 \cdot (3 - 2)}$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot (3 - 2)}$

Schritt 2.2.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{3 - 2}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(10, 5), (12, 3)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $t$ gefundenen $g (t)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $g (t)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $g (t)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(10, 5)$

Absolutes Minimum: $(12, 3)$

Schritt 4