Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{4} - 16}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4} - 16}$ als ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Schritt 1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 1.5.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.7

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 8$ und $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.1

Schreibe ${(x^{4} - 16)}^{2}$ als $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2

Multipliziere $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.3.1.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3.1.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3.1.2

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.3.2

Subtrahiere $16 x^{4}$ von $- 16 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.10.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.10.3.1.7.1

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.3.1.7.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.7.1.3

Addiere $2$ und $8$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.7.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.3.1.7.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.7.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.9

Vereinfache.

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Schritt 2.10.3.1.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 96$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.9.3

Mutltipliziere $768$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.10

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.3.1.10.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.10.3

Addiere $4$ und $6$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.12

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.1.13

Mutltipliziere $128$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.2

Subtrahiere $64 x^{10}$ von $24 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.3.3

Addiere $- 768 x^{6}$ und $1024 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.4.1

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.10.4.1.1

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $- 40 x^{10}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.1.2

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $256 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.1.3

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $6144 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.1.4

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.1.5

Faktorisiere $8 x^{2}$ aus $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.3

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.10.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ und deren Summe gleich $b = 32$ ist.

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Schritt 2.10.4.4.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 u$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.4.1.2

Schreibe $32$ um als $- 48$ plus $80$

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.10.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 u - 48$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.4.9

Faktorisiere.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.5.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Schritt 2.10.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Schritt 2.10.5.4

Vereinfache.

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Schritt 2.10.5.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Schritt 2.10.5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Schritt 2.10.5.5

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ an.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.6

Multipliziere $(x^{2} + 4) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.5.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.5.7.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.10.5.7.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.7.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.10.5.8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.9

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.5.10

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x^{2} + 4)$ an.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 4$ und ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

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Schritt 2.10.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Schritt 2.10.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Schritt 2.10.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und ${(x + 2)}^{4}$ .

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Schritt 2.10.7.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.7.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Schritt 2.10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Schritt 2.10.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 2$ und ${(x - 2)}^{4}$ .

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Schritt 2.10.8.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 2.10.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.8.2.1

Faktorisiere $x - 2$ aus ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Schritt 2.10.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Schritt 2.10.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.10

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.12

Schreibe $- (5 x^{4} + 48)$ als $- 1 (5 x^{4} + 48)$ um.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Schritt 2.10.15

Mutltipliziere $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 2.10.16

Stelle die Faktoren in $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{4} - 16}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4} - 16}$ als ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Schritt 4.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 4.1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 4.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Schritt 4.1.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Schritt 4.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 4.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.5.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 4.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.1.5.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x^{3} = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{3} = 0$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{3} = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 5.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.1.4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.5

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ an.

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.6

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2)$ an.

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.3

Setze ${(x^{2} + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.1

Setze ${(x^{2} + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.3.2

Löse ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.2.1

Setze $x^{2} + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Schritt 6.2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 4$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 6.2.3.2.2.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 6.2.3.2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 6.2.3.2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 6.2.3.2.2.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.2.3.2.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 2$

Schritt 6.2.3.2.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i$

Schritt 6.2.3.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.3.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i$

Schritt 6.2.3.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i$

Schritt 6.2.3.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i, - 2 i$

Schritt 6.2.4

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.4.1

Setze ${(x + 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.4.2

Löse ${(x + 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.4.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.2.5

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.5.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.5.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.2.5.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $0$ und $48$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $8$ .

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.2.4

Wende die Produktregel auf $- 1 \cdot (0 - 2)$ an.

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Schritt 9.2.6

Multipliziere ${(0 - 2)}^{3}$ mit ${(0 - 2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.6.1

Bewege ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.2.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $384$ mit $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 9.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Schritt 9.4.3

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Schritt 9.4.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.4.4.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Schritt 9.4.4.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (2)$ an.

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Schritt 9.4.4.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Schritt 9.4.4.4

Mutltipliziere $2^{6}$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Schritt 9.4.4.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Schritt 9.4.4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{3}$ .

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Schritt 9.4.4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Schritt 9.4.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Schritt 9.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Schritt 9.4.4.8

Addiere $6$ und $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Schritt 9.4.5

Potenziere $2$ mit $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

$\frac{0}{- 4096}$

Schritt 9.5.2

Dividiere $0$ durch $- 4096$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Schritt 10.2.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Schritt 10.2.2.2.3

Potenziere $240$ mit $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Schritt 10.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 512$ und $57600$ .

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Schritt 10.2.2.3.2.1

Faktorisiere $256$ aus $- 512$ heraus.

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Schritt 10.2.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $256$ aus $57600$ heraus.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Schritt 10.2.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Schritt 10.2.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Schritt 10.2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Schritt 10.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Schritt 10.3.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Schritt 10.3.2.2.3

Potenziere $- 15$ mit $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Schritt 10.3.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Schritt 10.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11