Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 25}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 25}$ als ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Schritt 1.10

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.10.3

Bringe ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.13

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.14.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.14.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.14.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.22

Um ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.24

Multipliziere ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.24.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.24.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.24.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.24.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 25) - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.25

Vereinfache ${(x^{2} - 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 25 - x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.26

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.27

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.27.1

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.27.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.28

Schreibe $\frac{- \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 25}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 25}$

Schritt 2.29

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2} - 25}$ mit $\frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.30

Multipliziere $x^{2} - 25$ mit ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.30.1

Mutltipliziere $x^{2} - 25$ mit ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.30.1.1

Potenziere $x^{2} - 25$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{(x^{2} - 25) {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.30.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.30.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.30.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.30.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{25}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 25}$ als ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 25$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])$

Schritt 4.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])$

Schritt 4.1.10

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 4.1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 4.1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 5.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 25)}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 25}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{2} - 25} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} - 25}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 25}$ als ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 25)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 25 = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 25 = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25$

Schritt 6.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 6.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 6.3.3.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 6.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 6.3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 6.3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 6.3.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 25}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 25 < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Addiere $25$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} < 25$

Schritt 6.5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{25}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | < \sqrt{25}$

Schritt 6.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{25}$ .

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Schritt 6.5.3.2.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| x | < \sqrt{5^{2}}$

Schritt 6.5.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | < | 5 |$

Schritt 6.5.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$| x | < 5$

Schritt 6.5.4

Schreibe $| x | < 5$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.5.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.5.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x < 5$

Schritt 6.5.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 6.5.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x < 5$

Schritt 6.5.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x < 5 & x \geq 0 \\ - x < 5 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 6.5.5

Bestimme die Schnittmenge von $x < 5$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 5$

Schritt 6.5.6

Löse $- x < 5$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 6.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x < 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.6.1.1

Teile jeden Term in $- x < 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{5}{- 1}$

Schritt 6.5.6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.6.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{5}{- 1}$

Schritt 6.5.6.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{5}{- 1}$

Schritt 6.5.6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.6.1.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

$x > - 5$

Schritt 6.5.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 5$ und $x < 0$ .

$- 5 < x < 0$

Schritt 6.5.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 5 < x < 5$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

$- 5 \leq x \leq 5$

$[- 5, 5]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 5, 5$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{25}{{({(- 5)}^{2} - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{25}{{(25 - 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$- \frac{25}{0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{25}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{25}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{25}{0^{3}}$

Schritt 9.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{25}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11