Analysis Beispiele

$f (x) = 9 x^{\frac{2}{3}} - x$ on $0$ , $729$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$9 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.9

Kombiniere $9$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{9 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{18}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$6 = x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{\frac{1}{3}} = 6$ um.

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Schritt 1.2.5.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.5.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.5.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Schritt 1.2.5.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Schritt 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 6^{3}$

Schritt 1.2.5.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 6^{3}$

Schritt 1.2.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.2.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$x = 216$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}} - 1$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 216$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $216$ .

$9 {(216)}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Schreibe $216$ als $6^{3}$ um.

$9 {(6^{3})}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Schritt 1.4.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 6^{2} - (216)$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$9 \cdot 36 - (216)$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $36$ .

$324 - (216)$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $216$ .

$324 - 216$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $216$ von $324$ .

$108$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Schritt 1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Schritt 1.4.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Schritt 1.4.2.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$0 - (0)$

Schritt 1.4.2.2.3.3

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(216, 108), (0, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Schritt 2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Schritt 2.1.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$0 - (0)$

Schritt 2.1.2.3.3

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$0$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 729$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $729$ .

$9 {(729)}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe $729$ als $9^{3}$ um.

$9 {(9^{3})}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Schritt 2.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Schritt 2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 \cdot 9^{2} - (729)$

Schritt 2.2.2.1.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$9 \cdot 81 - (729)$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $81$ .

$729 - (729)$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $729$ .

$729 - 729$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $729$ von $729$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (729, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(216, 108)$

Absolutes Minimum: $(0, 0), (729, 0)$

Schritt 4