Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.1.1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.1.1.5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.1.1.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 1.1.1.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 1.1.1.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 1.1.1.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 1.1.1.12

Addiere $1$ und $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 1.1.1.13

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Schritt 1.1.1.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin^{2} (x)$ heraus.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ heraus.

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $\cos (x) + \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $\cos (x) + \sin (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $\cos (x) + \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4.2.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4.2.4

Separiere Brüche.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.4.2.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 1.2.4.2.6

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 1.2.4.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Schritt 1.2.4.2.8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 1.2.4.2.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 1.2.4.2.10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.10.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.11

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 1.2.4.2.12

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 1.2.4.2.12.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 1.2.4.2.12.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.13

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.4.2.13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.4.2.13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.4.2.13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.4.2.13.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.4.2.14

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.4.2.14.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + π$

Schritt 1.2.4.2.14.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.14.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.2.14.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.14.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.14.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.14.4.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.14.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.14.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 1.2.4.2.15

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.5

Setze $\cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $\cos (x) - \sin (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $\cos (x) - \sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.3

Separiere Brüche.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.6

Separiere Brüche.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.5.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 1.2.5.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 1.2.5.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Schritt 1.2.5.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (x) = - 1$

Schritt 1.2.5.2.11

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.11.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.11.2.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.11.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Schritt 1.2.5.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (1)$

Schritt 1.2.5.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.13.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.14

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.15

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.2.5.2.15.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.15.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.5.2.15.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.15.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.15.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.15.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 1.2.5.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.5.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.2.5.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.2.5.2.17

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $3 \sin (x) \cos (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 1.4.1.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Schritt 1.4.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{4}$

Schritt 1.4.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4}$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 1.4.2.2.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.4.2.2.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1.4.2.2.6

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 1.4.2.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.6.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.2.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

Schritt 1.4.2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Schritt 1.4.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.4.2.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{2 (3)}{4}$

Schritt 1.4.2.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 3.1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 3.1.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.1.2.4

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 3.1.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.1.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 3.1.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 3.1.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Schritt 3.1.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{4}$

Schritt 3.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4}$

Schritt 3.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = π$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $π$ .

$3 \sin (π) \cos (π)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$3 \sin (0) \cos (π)$

Schritt 3.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$3 \cdot 0 \cos (π)$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 \cos (π)$

Schritt 3.2.2.4

$0 (- \cos (0))$

Schritt 3.2.2.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.2.2.6

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

Absolutes Minimum: $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Schritt 5