Analysis Beispiele

$f (x) = 2 (3 - x)$ , $[- 1, 2]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (3 - x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [3 - x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [3 - x]$

Schritt 1.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.1.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.1.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.1.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = - 2$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Da $- 2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$2 (3 - (- 1))$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (3 + 1)$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$2 (3 - (2))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (3 - 2)$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 8), (2, 2)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 1, 8)$

Absolutes Minimum: $(2, 2)$

Schritt 4