Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{5}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{x}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ mit $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 = - 2 x^{2}$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} = 5$ um.

$- 2 x^{2} = 5$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = 5$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = 5$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Schritt 1.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

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Schritt 1.2.5.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.2.5.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.5.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Schritt 1.2.5.4.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.5.4.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $2 x - \frac{5}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

Schritt 1.4.1.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 - \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$10 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 - 1$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$9$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 7$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

Schritt 2.2.2.2

Um $14$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $14$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $14$ mit $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

Schritt 2.2.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $98$ .

$\frac{93}{7}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(7, \frac{93}{7})$

Absolutes Minimum: $(5, 9)$

Schritt 4