Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.3

Multipliziere.

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $- \frac{1}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Schritt 1.4.1.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$- \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- - 1$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 1, 1)$

Absolutes Minimum: $(- 2, \frac{1}{2})$

Schritt 4