Analysis Beispiele

$y = 4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ ; $[- 10, 10]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.14

Mutltipliziere $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.15

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.2.16

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ als ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3.2

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.3.3.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.4

Werte $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$4 \sqrt[3]{(1) - 1} - 3$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$4 \sqrt[3]{0} - 3$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$4 \sqrt[3]{0^{3}} - 3$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$4 \cdot 0 - 3$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 - 3$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(1, - 3)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 10$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 10$ .

$4 \sqrt[3]{(- 10) - 1} - 3$

Schritt 2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 10$ .

$4 \sqrt[3]{- 11} - 3$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $- 11$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 11$ um.

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$4 \sqrt[3]{- 1 (11)} - 3$

Schritt 2.1.2.2.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$4 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 11} - 3$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 (- 1 \sqrt[3]{11}) - 3$

Schritt 2.1.2.4

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{11}$ als $- \sqrt[3]{11}$ um.

$4 (- \sqrt[3]{11}) - 3$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \sqrt[3]{11} - 3$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 10$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $10$ .

$4 \sqrt[3]{(10) - 1} - 3$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$4 \sqrt[3]{9} - 3$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3), (10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Absolutes Minimum: $(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3)$

Schritt 4