Analysis Beispiele

$f (x) = - 3 | x |$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 | x |$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$- 3 \frac{x}{| x |}$

Schritt 1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{- 3 x}{| x |}$

Schritt 1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x}{| x |}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x}{| x |}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{x}{| x |}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $| x |$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{x}{| x |}$ und $x$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.12.2.1

Multipliziere $3 (- \frac{x^{2}}{| x |})$ .

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Schritt 2.12.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 | x | - 3 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.2.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 | x | + \frac{- 3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3 | x | - \frac{3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 | x | - \frac{3 x^{2}}{| x |}$ heraus.

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Schritt 2.12.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 | x |$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x |) - \frac{3 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- \frac{3 x^{2}}{| x |}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x |) + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (| x |) + 3 (- \frac{x^{2}}{| x |})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{3 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.2

Um $| x |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.3.4.1

Multipliziere $| x | | x |$ .

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Schritt 2.12.3.4.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.4.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.3.5

Dividiere $0$ durch $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.4

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot 0}{x^{2}}$

Schritt 2.12.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Schritt 2.12.6

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Schritt 2.12.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (x) = 0$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{3 x}{| x |} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 | x |$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$- 3 \frac{x}{| x |}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{- 3 x}{| x |}$

Schritt 4.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3 x}{| x |}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3 x}{| x |}$ .

$- \frac{3 x}{| x |}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3 x}{| x |} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{3 x}{| x |} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 5.4

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{3 x}{| x |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$0$

Schritt 9

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 9.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 9.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{3 x}{| x |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 (- 2)}{| - 2 |}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 6}{| - 2 |}$

Schritt 9.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 6}{2}$

Schritt 9.2.2.3

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$f' (- 2) = 3$

Schritt 9.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 9.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{3 x}{| x |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (2)}{| 2 |}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{6}{| 2 |}$

Schritt 9.3.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$f' (2) = - \frac{6}{2}$

Schritt 9.3.2.3

Dividiere $6$ durch $2$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Schritt 9.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (2) = - 3$

Schritt 9.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 9.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10