Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x + 5}{3}$ , $[0, 5]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x + 5}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 1.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.1.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.1.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 1.1.1.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} (2 + 0)$

Schritt 1.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Schritt 1.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{3} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2 (0) + 5}{3}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 5}{3}$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\frac{2 (5) + 5}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 + 5}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Addiere $10$ und $5$ .

$\frac{15}{3}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $15$ durch $3$ .

$5$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, \frac{5}{3}), (5, 5)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(5, 5)$

Absolutes Minimum: $(0, \frac{5}{3})$

Schritt 4