Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 27$ .

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Da $108$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $108 x$ nach $x$ gleich $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $108$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 54 x + 108$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 54 x$ heraus.

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $108$ heraus.

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ heraus.

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ heraus.

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 6, - 3$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 3$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $216$ .

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $36$ .

$432 - 972 + 108 (6)$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $108$ mit $6$ .

$432 - 972 + 648$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Subtrahiere $972$ von $432$ .

$- 540 + 648$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $- 540$ und $648$ .

$108$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $9$ .

$54 - 243 + 108 (3)$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Mutltipliziere $108$ mit $3$ .

$54 - 243 + 324$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere $243$ von $54$ .

$- 189 + 324$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $- 189$ und $324$ .

$135$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(6, 108), (3, 135)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Schritt 2.1.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Schritt 2.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Schritt 2.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

Schritt 2.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$16 - 108 + 108 (2)$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $108$ mit $2$ .

$16 - 108 + 216$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Subtrahiere $108$ von $16$ .

$- 92 + 216$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $- 92$ und $216$ .

$124$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $7$ .

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $343$ .

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Schritt 2.2.2.1.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $49$ .

$686 - 1323 + 108 (7)$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $108$ mit $7$ .

$686 - 1323 + 756$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $1323$ von $686$ .

$- 637 + 756$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $- 637$ und $756$ .

$119$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(2, 124), (7, 119)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, 135)$

Absolutes Minimum: $(6, 108)$

Schritt 4