Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 4$ ;, $[- 1, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 3 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 6 x + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $4 x^{3} - 6 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 6 x$ .

$4 x^{3} - 6 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 6 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 6 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3} - 6 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) - 6 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ heraus.

$2 x (2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $2 x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $2 x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $2 x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 3$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.5.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{4} - 3 x^{2} + 4$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0 + 0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{4}$ als $6^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{36}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{36}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 (9)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{1}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.9

Multipliziere $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.9.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.9.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Schritt 1.4.2.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 1.4.2.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.2.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 - 9 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{9 - 18 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.2.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{9 - 18 + 16}{4}$

Schritt 1.4.2.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.5.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$\frac{- 9 + 16}{4}$

Schritt 1.4.2.2.5.2

Addiere $- 9$ und $16$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

${(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

${(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{4}$ als $6^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{6^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.4.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{36}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{36}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 (9)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$\frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}) + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$\frac{9}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{9}{4} - 3 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{9}{4} - 3 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.10

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6^{1}}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{6}{2^{2}} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9}{4} - 3 (\frac{6}{4}) + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{2 (3)}{4} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{4} - 3 \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2}) + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.13

Multipliziere $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.13.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.13.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - (\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 4$

Schritt 1.4.3.2.2.3

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Schritt 1.4.3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 1.4.3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 - 9 \cdot 2 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{9 - 18 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 1.4.3.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{9 - 18 + 16}{4}$

Schritt 1.4.3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.5.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$\frac{- 9 + 16}{4}$

Schritt 1.4.3.2.5.2

Addiere $- 9$ und $16$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 4), (\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{7}{4}), (- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{7}{4})$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, 4)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne bei $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 4$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 4$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 4$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$2$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 3 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 3.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 3 \cdot 1 + 4$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 4$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 4$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$2$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, 2), (1, 2)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 4)$

Absolutes Minimum: $(- 1, 2), (1, 2)$

Schritt 5