Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x)$

Schritt 1

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\cos (x) = 0$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 7

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 11

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 12.2.2

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 14.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- - 1$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 15

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 16.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Schritt 16.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18