Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ , $[- 4, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Addiere $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $36 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ heraus.

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ heraus.

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 1.2.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 4$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

${(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 27$ .

$81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$81 - 216 + 18 \cdot 9 + 4$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $9$ .

$81 - 216 + 162 + 4$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.1

Subtrahiere $216$ von $81$ .

$- 135 + 162 + 4$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Addiere $- 135$ und $162$ .

$27 + 4$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Addiere $27$ und $4$ .

$31$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 4), (- 3, 31)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

${(- 4)}^{4} + 8 {(- 4)}^{3} + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$256 + 8 {(- 4)}^{3} + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Schritt 2.1.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$256 + 8 \cdot - 64 + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Schritt 2.1.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 64$ .

$256 - 512 + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Schritt 2.1.2.1.4

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$256 - 512 + 18 \cdot 16 + 4$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $16$ .

$256 - 512 + 288 + 4$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Subtrahiere $512$ von $256$ .

$- 256 + 288 + 4$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $- 256$ und $288$ .

$32 + 4$

Schritt 2.1.2.2.3

Addiere $32$ und $4$ .

$36$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{4} + 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 + 8 + 18 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 2.2.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 + 18 \cdot 1 + 4$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $1$ .

$1 + 8 + 18 + 4$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Addiere $1$ und $8$ .

$9 + 18 + 4$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $9$ und $18$ .

$27 + 4$

Schritt 2.2.2.2.3

Addiere $27$ und $4$ .

$31$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 4, 36), (1, 31)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 4, 36)$

Absolutes Minimum: $(0, 4)$

Schritt 4