Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x - 5} - 4$ ; $10 \leq x \leq 21$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x - 5} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.13

Mutltipliziere $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.14

Bringe ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x - 5)}^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x - 5} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x - 5})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 5}$ als ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x - 5) = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot - 5 = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$4 x - 20 = 0^{2}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x - 20 = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.1

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 20$

Schritt 1.3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 20$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 20$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{20}{4}$

Schritt 1.3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.3.1

Dividiere $20$ durch $4$ .

$x = 5$

Schritt 1.3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 5}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 < 0$

Schritt 1.3.5

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 5$

Schritt 1.3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

Schritt 1.4

Werte $\sqrt{x - 5} - 4$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\sqrt{(5) - 5} - 4$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\sqrt{0} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 - 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(5, - 4)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne bei $x = 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $10$ .

$\sqrt{(10) - 5} - 4$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\sqrt{5} - 4$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 21$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $21$ .

$\sqrt{(21) - 5} - 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Subtrahiere $5$ von $21$ .

$\sqrt{16} - 4$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2}} - 4$

Schritt 3.2.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 - 4$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(10, \sqrt{5} - 4), (21, 0)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(21, 0)$

Absolutes Minimum: $(10, \sqrt{5} - 4)$

Schritt 5