Analysis Beispiele

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (θ)$ nach $θ$ gleich $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 1.1.1.3.2

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 1.1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (θ)$ nach $θ$ ist $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2 \sin (θ)$ aus $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2 \sin (θ)$ aus $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ heraus.

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $2 \sin (θ)$ aus $- 2 \sin (θ)$ heraus.

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $2 \sin (θ)$ aus $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ heraus.

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $\sin (θ)$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $\sin (θ)$ gleich $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $\sin (θ) = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$θ = \arcsin (0)$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$θ = π - 0$

Schritt 1.2.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$θ = π$

Schritt 1.2.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (θ)$ .

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.5

Setze $- \cos (θ) - 1$ gleich $0$ und löse nach $θ$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $- \cos (θ) - 1$ gleich $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $- \cos (θ) - 1 = 0$ nach $θ$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (θ) = 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (θ) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (θ) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.2

Dividiere $\cos (θ)$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Schritt 1.2.5.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (- 1)$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$θ = π$

Schritt 1.2.5.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - π$

Schritt 1.2.5.2.6

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$θ = π$

Schritt 1.2.5.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 1.2.5.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.5.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.5.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ wahr machen.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ an jeden $θ$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $θ = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $θ$ durch $0$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 + 1^{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 1$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $θ = π$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $θ$ durch $π$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Schritt 1.4.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Schritt 1.4.2.2.1.4

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 1$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $θ = 0$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $θ$ durch $0$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Schritt 3.1.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 + 1^{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 1$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 3.2

Berechne bei $θ = 2 π$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $θ$ durch $2 π$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Schritt 3.2.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Schritt 3.2.2.1.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 + \cos^{2} (0)$

Schritt 3.2.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 + 1^{2}$

Schritt 3.2.2.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 1$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $θ$ gefundenen $f (θ)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (θ)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (θ)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 3), (2 π, 3)$

Absolutes Minimum: $(π, - 1)$

Schritt 5