Analysis Beispiele

$f (x) = - (\frac{3}{5}) x^{5} - 2 x^{3} + 3 x - 12$ , $[- 4, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3}{5} x^{5} - 2 x^{3} + 3 x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- \frac{3}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.6

Kombiniere $\frac{- 15}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $5$ .

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Schritt 1.1.1.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x^{4}$ durch $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 12]$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.5.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 + 0$

Schritt 1.1.1.5.2

Addiere $- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3$ und $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$- 3 u^{2} - 6 u + 3 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 u^{2} - 6 u + 3$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 u^{2}$ heraus.

$- 3 u^{2} - 6 u + 3 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6 u$ heraus.

$- 3 u^{2} - 3 (2 u) + 3 = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $- 3$ aus $3$ heraus.

$- 3 u^{2} - 3 (2 u) - 3 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (u^{2}) - 3 (2 u)$ heraus.

$- 3 (u^{2} + 2 u) - 3 \cdot - 1 = 0$

Schritt 1.2.3.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (u^{2} + 2 u) - 3 (- 1)$ heraus.

$- 3 (u^{2} + 2 u - 1) = 0$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 (u^{2} + 2 u - 1) = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 (u^{2} + 2 u - 1) = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 (u^{2} + 2 u - 1)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 (u^{2} + 2 u - 1)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Dividiere $u^{2} + 2 u - 1$ durch $1$ .

$u^{2} + 2 u - 1 = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Schritt 1.2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = - 1 + \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.9.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.11

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0.41421356$

${(x^{2})}^{1} = - 2.41421356$

Schritt 1.2.12

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0.41421356$

Schritt 1.2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.13.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0.41421356}$

Schritt 1.2.13.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.13.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.41421356}$

Schritt 1.2.13.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.41421356}$

Schritt 1.2.13.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.41421356}, - \sqrt{0.41421356}$

Schritt 1.2.14

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 2.41421356$

Schritt 1.2.15

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.15.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 2.41421356$

Schritt 1.2.15.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2.41421356}$

Schritt 1.2.15.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2.41421356}$ .

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Schritt 1.2.15.3.1

Schreibe $- 2.41421356$ als $- 1 (2.41421356)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2.41421356)}$

Schritt 1.2.15.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2.41421356)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2.41421356}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2.41421356}$

Schritt 1.2.15.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2.41421356}$

Schritt 1.2.15.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.15.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2.41421356}$

Schritt 1.2.15.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2.41421356}$

Schritt 1.2.15.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2.41421356}, - i \sqrt{2.41421356}$

Schritt 1.2.16

Die Lösung von $- 3 x^{4} - 6 x^{2} + 3 = 0$ ist $x = \sqrt{0.41421356}, - \sqrt{0.41421356}, i \sqrt{2.41421356}, - i \sqrt{2.41421356}$ .

$x = \sqrt{0.41421356}, - \sqrt{0.41421356}, i \sqrt{2.41421356}, - i \sqrt{2.41421356}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $- \frac{3}{5} x^{5} - 2 x^{3} + 3 x - 12$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \sqrt{0.41421356}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{0.41421356}$ .

$- \frac{3}{5} \cdot {(\sqrt{0.41421356})}^{5} - 2 {(\sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (\sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{0.41421356}}^{5}$ als $\sqrt{{0.41421356}^{5}}$ um.

$- \frac{3}{5} \cdot \sqrt{{0.41421356}^{5}} - 2 {(\sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (\sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.1.2.2

Potenziere $0.41421356$ mit $5$ .

$- \frac{3}{5} \cdot \sqrt{0.0121933} - 2 {(\sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (\sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.1.2.3

Kombiniere $\sqrt{0.0121933}$ und $\frac{3}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{0.0121933} \cdot 3}{5} - 2 {(\sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (\sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.1.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{0.0121933}$ .

$- \frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 {(\sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (\sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.1.2.5

Schreibe ${\sqrt{0.41421356}}^{3}$ als $\sqrt{{0.41421356}^{3}}$ um.

$- \frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 \sqrt{{0.41421356}^{3}} + 3 (\sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.1.2.6

Potenziere $0.41421356$ mit $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 \sqrt{0.07106781} + 3 \sqrt{0.41421356} - 12$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - \sqrt{0.41421356}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{0.41421356}$ .

$- \frac{3}{5} \cdot {(- \sqrt{0.41421356})}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.41421356}$ an.

$- \frac{3}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.41421356}}^{5}) - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

${(- 1)}^{5} \cdot - 1 \frac{3}{5} \cdot {\sqrt{0.41421356}}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${(- 1)}^{5} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{5} \cdot {\sqrt{0.41421356}}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 1)}^{5 + 1} \frac{3}{5} \cdot {\sqrt{0.41421356}}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

${(- 1)}^{6} \frac{3}{5} \cdot {\sqrt{0.41421356}}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 (\frac{3}{5}) \cdot {\sqrt{0.41421356}}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot {\sqrt{0.41421356}}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.5

Schreibe ${\sqrt{0.41421356}}^{5}$ als $\sqrt{{0.41421356}^{5}}$ um.

$\frac{3}{5} \cdot \sqrt{{0.41421356}^{5}} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.6

Potenziere $0.41421356$ mit $5$ .

$\frac{3}{5} \cdot \sqrt{0.0121933} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.7

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $\sqrt{0.0121933}$ .

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 {(- \sqrt{0.41421356})}^{3} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.8

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{0.41421356}$ an.

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.41421356}}^{3}) + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 (- {\sqrt{0.41421356}}^{3}) + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.10

Schreibe ${\sqrt{0.41421356}}^{3}$ als $\sqrt{{0.41421356}^{3}}$ um.

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 (- \sqrt{{0.41421356}^{3}}) + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.11

Potenziere $0.41421356$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 (- \sqrt{0.07106781}) + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} + 2 \sqrt{0.07106781} + 3 (- \sqrt{0.41421356}) - 12$

Schritt 1.4.2.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} + 2 \sqrt{0.07106781} - 3 \sqrt{0.41421356} - 12$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{0.41421356}, - \frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} - 2 \sqrt{0.07106781} + 3 \sqrt{0.41421356} - 12), (- \sqrt{0.41421356}, \frac{3 \sqrt{0.0121933}}{5} + 2 \sqrt{0.07106781} - 3 \sqrt{0.41421356} - 12)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 4$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 4$ .

$- \frac{3}{5} \cdot {(- 4)}^{5} - 2 {(- 4)}^{3} + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $5$ .

$- \frac{3}{5} \cdot - 1024 - 2 {(- 4)}^{3} + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{3}{5} \cdot - 1024$ .

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1024$ mit $- 1$ .

$1024 (\frac{3}{5}) - 2 {(- 4)}^{3} + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Kombiniere $1024$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1024 \cdot 3}{5} - 2 {(- 4)}^{3} + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Mutltipliziere $1024$ mit $3$ .

$\frac{3072}{5} - 2 {(- 4)}^{3} + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{3072}{5} - 2 \cdot - 64 + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 64$ .

$\frac{3072}{5} + 128 + 3 (- 4) - 12$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{3072}{5} + 128 - 12 - 12$

Schritt 2.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.2.2.1

Schreibe $128$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128}{1} - 12 - 12$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{128}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128}{1} \cdot \frac{5}{5} - 12 - 12$

Schritt 2.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{128}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} - 12 - 12$

Schritt 2.1.2.2.4

Schreibe $- 12$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} + \frac{- 12}{1} - 12$

Schritt 2.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{5}{5} - 12$

Schritt 2.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5} - 12$

Schritt 2.1.2.2.7

Schreibe $- 12$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5} + \frac{- 12}{1}$

Schritt 2.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3072}{5} + \frac{128 \cdot 5}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3072 + 128 \cdot 5 - 12 \cdot 5 - 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.1

Mutltipliziere $128$ mit $5$ .

$\frac{3072 + 640 - 12 \cdot 5 - 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$\frac{3072 + 640 - 60 - 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.1.2.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$\frac{3072 + 640 - 60 - 60}{5}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.1.2.5.1

Addiere $3072$ und $640$ .

$\frac{3712 - 60 - 60}{5}$

Schritt 2.1.2.5.2

Subtrahiere $60$ von $3712$ .

$\frac{3652 - 60}{5}$

Schritt 2.1.2.5.3

Subtrahiere $60$ von $3652$ .

$\frac{3592}{5}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$- \frac{3}{5} \cdot {(3)}^{5} - 2 {(3)}^{3} + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{3}{5} \cdot 243 - 2 {(3)}^{3} + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{3}{5} \cdot 243$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $243$ mit $- 1$ .

$- 243 (\frac{3}{5}) - 2 {(3)}^{3} + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Kombiniere $- 243$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 243 \cdot 3}{5} - 2 {(3)}^{3} + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 243$ mit $3$ .

$\frac{- 729}{5} - 2 {(3)}^{3} + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{729}{5} - 2 {(3)}^{3} + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{729}{5} - 2 \cdot 27 + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $27$ .

$- \frac{729}{5} - 54 + 3 (3) - 12$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{729}{5} - 54 + 9 - 12$

Schritt 2.2.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.2.2.1

Schreibe $- 54$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54}{1} + 9 - 12$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 54}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54}{1} \cdot \frac{5}{5} + 9 - 12$

Schritt 2.2.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 54}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + 9 - 12$

Schritt 2.2.2.2.4

Schreibe $9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + \frac{9}{1} - 12$

Schritt 2.2.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + \frac{9}{1} \cdot \frac{5}{5} - 12$

Schritt 2.2.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + \frac{9 \cdot 5}{5} - 12$

Schritt 2.2.2.2.7

Schreibe $- 12$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + \frac{9 \cdot 5}{5} + \frac{- 12}{1}$

Schritt 2.2.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + \frac{9 \cdot 5}{5} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.2.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{- 12}{1}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{729}{5} + \frac{- 54 \cdot 5}{5} + \frac{9 \cdot 5}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 729 - 54 \cdot 5 + 9 \cdot 5 - 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 54$ mit $5$ .

$\frac{- 729 - 270 + 9 \cdot 5 - 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.2.2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{- 729 - 270 + 45 - 12 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.2.2.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$\frac{- 729 - 270 + 45 - 60}{5}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.5.1

Subtrahiere $270$ von $- 729$ .

$\frac{- 999 + 45 - 60}{5}$

Schritt 2.2.2.5.2

Addiere $- 999$ und $45$ .

$\frac{- 954 - 60}{5}$

Schritt 2.2.2.5.3

Subtrahiere $60$ von $- 954$ .

$\frac{- 1014}{5}$

Schritt 2.2.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1014}{5}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 4, \frac{3592}{5}), (3, - \frac{1014}{5})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 4, \frac{3592}{5})$

Absolutes Minimum: $(3, - \frac{1014}{5})$

Schritt 4