Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ , $[0, 3]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.12

Dividiere $x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.8

Mutltipliziere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.11

Faktorisiere $6$ aus $12 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.12.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.12.4

Dividiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.6.1

Addiere $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ und $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

Schritt 1.1.1.6.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3

Ersetze $x^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere ${(u)}^{2}$ mit ${(u)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Addiere $2$ und $3$ .

$u^{5} - 2 u = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{5} - 2 u$ heraus.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{5}$ heraus.

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u$ heraus.

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ heraus.

$u (u^{4} - 2) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.4

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 1.2.4.5

Setze $u^{4} - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.5.1

Setze $u^{4} - 2$ gleich $0$ .

$u^{4} - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.5.2

Löse $u^{4} - 2 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{4} = 2$

Schritt 1.2.4.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

Schritt 1.2.4.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt[4]{2}$

Schritt 1.2.4.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt[4]{2}$

Schritt 1.2.4.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Schritt 1.2.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u^{4} - 2) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Schritt 1.2.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.7.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.2.2.1

Schreibe ${\sqrt[4]{2}}^{2}$ als $\sqrt{2}$ um.

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Schritt 1.2.7.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{2}$ als $2^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.7.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.7.2.2.1.5

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{2}$ um.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Schritt 1.2.9

Schließe die Lösungen aus, die $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

Schritt 1.3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

Schritt 1.3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 1.3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 1.4

Werte $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Dividiere $0$ durch $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.9

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 - 4$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 4$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, - 4)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.3

Dividiere $0$ durch $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.6

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Schritt 2.1.2.1.9

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 - 4$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 4$

Schritt 2.1.2.2.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{2 {(3)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 {(3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere ${(3)}^{\frac{3}{2}}$ mit $3^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Bewege $3^{- 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 (3^{- 1} {(3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.2

Um $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Schritt 2.2.2.5

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.2.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.2.8.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 8}{2}$

Schritt 2.2.2.8.2

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, - 4), (3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Absolutes Minimum: $(0, - 4)$

Schritt 4