Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x - 4$ ; between $1$ and $6$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$12 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{2} - 3 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2

Addiere $12 x^{2} - 3$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 3$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 3$ .

$12 x^{2} - 3$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 3 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 3$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 3$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 3$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 1.2.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $4 x^{3} - 3 x - 4$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \frac{1}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{1}{4 (2)} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 4$

Schritt 1.4.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 + \frac{1 - 3}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 4 + \frac{- 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$- 4 - 1$

Schritt 1.4.1.2.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$- 5$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 (- \frac{1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$4 (\frac{- 1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$4 \frac{- 1}{4 (2)} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.7

Multipliziere $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Schritt 1.4.2.2.1.7.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 4$

Schritt 1.4.2.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 + \frac{- 1 + 3}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$- 4 + \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.2.2.2.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- 4 + 1$

Schritt 1.4.2.2.2.2.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$- 3$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{2}, - 5), (- \frac{1}{2}, - 3)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 - 4$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 4$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 - 3 \cdot 1 - 4$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 - 3 - 4$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$1 - 4$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = 6$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$4 {(6)}^{3} - 3 \cdot 6 - 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$4 \cdot 216 - 3 \cdot 6 - 4$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $216$ .

$864 - 3 \cdot 6 - 4$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$864 - 18 - 4$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $864$ .

$846 - 4$

Schritt 3.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $846$ .

$842$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(1, - 3), (6, 842)$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(6, 842)$

Absolutes Minimum: $(1, - 3)$

Schritt 5