Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 1.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 1.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.16

Multipliziere.

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Schritt 2.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.18.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.18.2

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.22

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.23

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.24

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.25

Um ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.27

Multipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.27.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.27.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.27.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.27.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{(9 - x^{2}) + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.28

Vereinfache ${(9 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 - x^{2} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.29

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 + 0}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.30

Addiere $9$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.31

Schreibe $\frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9 - x^{2}}) + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.32

Mutltipliziere $\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{9 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.33

Multipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $9 - x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.33.1

Mutltipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $9 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.33.1.1

Potenziere $9 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.33.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.33.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.33.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.33.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.34

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 2.35

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.35.1

Mutltipliziere $\frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 2.35.2

Addiere $- \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.7.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4.1.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 4.1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 4.1.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.1.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$9 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 - x^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 6.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 6.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 6.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 6.3.3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 6.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 6.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 6.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 6.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{9 - x^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 - x^{2} < 0$

Schritt 6.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 9$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 9$

Schritt 6.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{9}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 6.5.4.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Schritt 6.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 3 |$

Schritt 6.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | > 3$

Schritt 6.5.5

Schreibe $| x | > 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 3$

Schritt 6.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 6.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 3$

Schritt 6.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 6.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 3$ und $x \geq 0$ .

$x > 3$

Schritt 6.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 6.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 6.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Schritt 6.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.7.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x < - 3$

Schritt 6.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 3$ oder $x > 3$

Schritt 6.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 3, 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{9}{{(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{9}{{(9 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{9}{{(9 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Addiere $9$ und $0$ .

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{3^{3}}$

Schritt 9.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{9}{27}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $27$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$- \frac{9 (1)}{27}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 - 0}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 11.2.3

Addiere $9$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt{9}$

Schritt 11.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 11.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 3$

Schritt 11.2.6

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{9}{{(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{9}{{(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{9}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$- \frac{9}{0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{9}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 13.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{0^{3}}$

Schritt 13.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{9}{0}$

Schritt 13.2.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{9}{0}$

Schritt 13.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 15