Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 20 x + 27$ und $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 20 x + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + \frac{d}{d x} (27)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $6 x - 20$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 20 x + 27$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 x + 27$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 20 x + 27$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Schritt 5.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 20$ und $c = 27$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 27)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

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Schritt 5.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.1.3

Subtrahiere $324$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 5.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.1.3

Subtrahiere $324$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 5.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Schritt 5.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.1.3

Subtrahiere $324$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 5.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Schritt 5.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 20$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Schritt 9.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Schritt 9.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (10 + \sqrt{19}) - 20$

Schritt 9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 10 + 2 \sqrt{19} - 20$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$20 + 2 \sqrt{19} - 20$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Schritt 10

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.4.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.3

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 11.2.1.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.4

Mutltipliziere $30$ mit $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.5

Schreibe ${\sqrt{19}}^{3}$ als $\sqrt{19^{3}}$ um.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.6

Potenziere $19$ mit $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.7

Schreibe $6859$ als $19^{2} \cdot 19$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.4.7.1

Faktorisiere $361$ aus $6859$ heraus.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.7.2

Schreibe $361$ als $19^{2}$ um.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.5

Addiere $1000$ und $570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.8

Schreibe ${(10 + \sqrt{19})}^{2}$ als $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ um.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.9

Multipliziere $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.10.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.1.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.1.4

Mutltipliziere $19$ mit $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.1.5

Schreibe $361$ als $19^{2}$ um.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.2

Addiere $100$ und $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.10.3

Addiere $10 \sqrt{19}$ und $10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.11

Kombiniere $- 10$ und $\frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 11.2.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3})) - 18$

Schritt 11.2.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 + \sqrt{19}) - 18$

Schritt 11.2.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.1.15

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.2

Um $- \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $119$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.5

Mutltipliziere $- 1190$ mit $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 200$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.7

Subtrahiere $3570$ von $1570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 19 \sqrt{19} - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.5.8

Subtrahiere $600 \sqrt{19}$ von $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.6

Um $90$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.7

Kombiniere $90$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.8.2

Mutltipliziere $90$ mit $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 2430}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.8.3

Addiere $- 2000$ und $2430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 11.2.9

Um $9 \sqrt{19}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Schritt 11.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.10.1

Kombiniere $9 \sqrt{19}$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 11.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 11.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $9$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Schritt 11.2.11.2

Addiere $- 581 \sqrt{19}$ und $243 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Schritt 11.2.12

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 11.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.13.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 11.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 11.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.14.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Schritt 11.2.14.2

Subtrahiere $486$ von $430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 11.2.15

Die endgültige Lösung ist $\frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 20$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Schritt 13.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Schritt 13.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (10 - \sqrt{19}) - 20$

Schritt 13.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 10 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$20 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$20 - 2 \sqrt{19} - 20$

Schritt 13.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $2 \sqrt{19}$ von $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Schritt 14

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.4.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.4

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{19}$ an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.6

Mutltipliziere ${\sqrt{19}}^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.7

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 15.2.1.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.2.1.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.8

Mutltipliziere $30$ mit $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.9

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{19}$ an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.11

Schreibe ${\sqrt{19}}^{3}$ als $\sqrt{19^{3}}$ um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.12

Potenziere $19$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.13

Schreibe $6859$ als $19^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 15.2.1.4.13.1

Faktorisiere $361$ aus $6859$ heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.13.2

Schreibe $361$ als $19^{2}$ um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - (19 \sqrt{19})}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.4.15

Mutltipliziere $19$ mit $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.5

Addiere $1000$ und $570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.8

Schreibe ${(10 - \sqrt{19})}^{2}$ als $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.9

Multipliziere $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.2.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.10.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

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Schritt 15.2.1.10.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

Schritt 15.2.1.10.1.4.4

Potenziere $\sqrt{19}$ mit $1$ .

Schritt 15.2.1.10.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.5

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 15.2.1.10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.2

Addiere $100$ und $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.10.3

Subtrahiere $10 \sqrt{19}$ von $- 10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.11

Kombiniere $- 10$ und $\frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Schritt 15.2.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3})) - 18$

Schritt 15.2.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 - \sqrt{19}) - 18$

Schritt 15.2.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Schritt 15.2.1.15

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Schritt 15.2.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.2

Um $- \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $119$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 + 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.5

Mutltipliziere $- 1190$ mit $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $200$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.7

Subtrahiere $3570$ von $1570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 19 \sqrt{19} + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.5.8

Addiere $- 19 \sqrt{19}$ und $600 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.6

Um $90$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.7

Kombiniere $90$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.8.2

Mutltipliziere $90$ mit $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 2430}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.8.3

Addiere $- 2000$ und $2430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Schritt 15.2.9

Um $- 9 \sqrt{19}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Schritt 15.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.2.10.1

Kombiniere $- 9 \sqrt{19}$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 15.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 15.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Schritt 15.2.11.2

Subtrahiere $243 \sqrt{19}$ von $581 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Schritt 15.2.12

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 15.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.2.13.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 15.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 15.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.14.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Schritt 15.2.14.2

Subtrahiere $486$ von $430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 15.2.15

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 15.2.15.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}$ heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 15.2.15.2

Schreibe $- 56$ als $- 1 (56)$ um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 \cdot 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 15.2.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 (56)$ heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) + 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 15.2.15.4

Faktorisiere $- 1$ aus $338 \sqrt{19}$ heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})}{27}$

Schritt 15.2.15.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})$ heraus.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Schritt 15.2.15.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.15.6.1

Schreibe $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ als $- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ um.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Schritt 15.2.15.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 15.2.16

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ .

$(\frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{10 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17