Analysis Beispiele

$y = 3^{x}$ , $[0, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3^{x} \ln (3)$ .

$3^{x} \ln (3)$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3^{x} \ln (3) = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3^{x} \ln (3) = 0$

Schritt 1.2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$3^{0}$

Schritt 2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$3^{4}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 1), (4, 81)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(4, 81)$

Absolutes Minimum: $(0, 1)$

Schritt 4