Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ , $x > 0$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 1.2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 1.2.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{3} + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} - 1 = 0 x^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 1$

Schritt 1.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 1.2.4.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 1.2.4.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.4.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.4.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.4.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 1.2.4.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 1.2.4.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 1.2.4.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 1.2.4.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.2.4.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.4.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 1.2.4.4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 1.2.4.4.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $x^{2} + \frac{1}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{16}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.2.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{4} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 1 \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 1.4.1.2.1.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 1.4.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Schritt 1.4.1.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.1.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.10.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.10.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.10.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.10.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.10.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.10.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.1.11.2

Dividiere $\sqrt[3]{2}$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

Um $\sqrt[3]{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.3.1

Kombiniere $\sqrt[3]{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} + 2 \cdot \sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Addiere $\sqrt[3]{2}$ und $2 \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{1}{0}$

Schritt 1.4.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$

Schritt 2

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) \cup (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \infty)$

Schritt 2.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{\sqrt[3]{4}}{2})$ in die erste Ableitung $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16 - 1}{4}$

Schritt 2.2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 16$ .

$f' (- 2) = \frac{- 17}{4}$

Schritt 2.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{17}{4}$

Schritt 2.2.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{17}{4}$ .

$- \frac{17}{4}$

Schritt 2.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 2 (3) - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (3) = 6 - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 6 - \frac{1}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$f' (3) = 6 \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{9}$ .

$f' (3) = \frac{6 \cdot 9}{9} - \frac{1}{9}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = \frac{6 \cdot 9 - 1}{9}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f' (3) = \frac{54 - 1}{9}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $54$ .

$f' (3) = \frac{53}{9}$

Schritt 2.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{53}{9}$ .

$\frac{53}{9}$

Schritt 2.4

Da die erste Ableitung um $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Absolutes Minimum: $(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$

Schritt 4