Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ on $- 2$ , $2$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

Schritt 1.1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (x^{2} - 4) x$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

Schritt 1.1.1.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 16 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte ${(x^{2} - 4)}^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

${(- 4)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{2}$

Schritt 1.4.3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 16), (- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{2}$

Schritt 2.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{2}$

Schritt 2.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(0, 16)$

Absolutes Minimum: $(- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 4