Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.3.3.1.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Subtrahiere $t^{2}$ von $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} - 16 t$ heraus.

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Schritt 1.1.1.3.4.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.2

Faktorisiere $t$ aus $- 16 t$ heraus.

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3.4.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t + t \cdot - 16$ heraus.

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$t (t - 16) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $t - 16$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $t - 16$ gleich $0$ .

$t - 16 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 16$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t (t - 16) = 0$ wahr machen.

$t = 0, 16$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Setze den Nenner in $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Setze $t - 8$ gleich $0$ .

$t - 8 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 8$

Schritt 1.4

Werte $\frac{t^{2}}{t - 8}$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $t = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $t$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Schritt 1.4.1.2.3

Dividiere $0$ durch $- 8$ .

$0$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $t = 16$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $t$ durch $16$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$\frac{256}{8}$

Schritt 1.4.2.2.3

Dividiere $256$ durch $8$ .

$32$

Schritt 1.4.3

Berechne bei $t = 8$ .

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Schritt 1.4.3.1

Ersetze $t$ durch $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.3.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Schritt 1.4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 1.4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (16, 32)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $t = - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $t$ durch $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Schritt 3.1.2.1.2

Subtrahiere $8$ von $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 10$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Schritt 3.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Schritt 3.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- 5}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5}$

Schritt 3.2

Berechne bei $t = - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $t$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Schritt 3.2.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Schritt 3.2.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Schritt 3.2.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Schritt 3.2.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.2.1

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.2.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Schritt 3.2.2.2.4.2

Subtrahiere $32$ von $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Schritt 3.2.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Schritt 3.2.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Schritt 3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{33}$ in den Zähler.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Schritt 3.2.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Schritt 3.2.2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Schritt 3.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Schritt 3.2.2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Schritt 3.2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Schritt 3.2.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{132}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $t$ gefundenen $f (t)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (t)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (t)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Absolutes Minimum: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Schritt 5