Analysis Beispiele

$f (x) = 12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ , $[- 8, 1]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$12 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.9

Kombiniere $12$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{24 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{24}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.12

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$\frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 1.3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{8}{\sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$12 {(0)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$12 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} + 8$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Schritt 1.4.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$12 \cdot 0^{2} + 8$

Schritt 1.4.1.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 \cdot 0 + 8$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 + 8$

Schritt 1.4.1.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$8$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 8)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 8$ .

$12 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$12 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}} + 8$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Schritt 2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$12 {(- 2)}^{2} + 8$

Schritt 2.1.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$12 \cdot 4 + 8$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$48 + 8$

Schritt 2.1.2.2

Addiere $48$ und $8$ .

$56$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$12 {(1)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 + 8$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + 8$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $12$ und $8$ .

$20$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 8, 56), (1, 20)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(- 8, 56)$

Absolutes Minimum: $(0, 8)$

Schritt 4