Analysis Beispiele

$f (x) = x {(x - 4)}^{2}$ ; $[0, 4]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((x - 4) (x - 4))]$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 4) - 4 (x - 4))]$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]$

Schritt 1.1.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 8 x + 16)]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 8 x + 16$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.7

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1$

Schritt 1.1.1.5.9

Mutltipliziere $x^{2} - 8 x + 16$ mit $1$ .

$x (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2.5

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 8 \cdot x + x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Schritt 1.1.1.6.2.7

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 16 x + 16$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 4$ plus $- 12$

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{3}, 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x {(x - 4)}^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{4}{3}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{4}{3}$ .

$(\frac{4}{3}) {((\frac{4}{3}) - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 12}{3})}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$\frac{4}{3} {(\frac{- 8}{3})}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{3} {(- \frac{8}{3})}^{2}$

Schritt 1.4.1.2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{8}{3}$ an.

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2})$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{3^{2}})$

Schritt 1.4.1.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} (1 \frac{8^{2}}{3^{2}})$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $\frac{8^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{8^{2}}{3^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.8

Kombinieren.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.9

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 1.4.1.2.9.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Schritt 1.4.1.2.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1 + 2}}$

Schritt 1.4.1.2.9.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2^{2} \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.10.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.4.1.2.10.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.10.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{6}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2^{2 + 6}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.10.5

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{2^{8}}{3^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.11

Berechne die Exponenten.

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Schritt 1.4.1.2.11.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2^{8}}{27}$

Schritt 1.4.1.2.11.2

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{256}{27}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$4 \cdot 0^{2}$

Schritt 1.4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0$

Schritt 1.4.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{4}{3}, \frac{256}{27}), (4, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) {((0) - 4)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$0 {(- 4)}^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$0 \cdot 16$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $16$ .

$0$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$4 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (4, 0)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{4}{3}, \frac{256}{27})$

Absolutes Minimum: $(0, 0), (4, 0)$

Schritt 4