Analysis Beispiele

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{a}$ und $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ .

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{b}$ und $g (x) = 1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x$ .

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = b$ .

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b {(1 - x)}^{b - 1}$ .

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.6.3

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Schritt 1.1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = a$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

Schritt 1.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ um.

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$0^{a} \cdot 1^{b}$

Schritt 2.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0^{a} \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $0^{a}$ mit $1$ .

$0^{a}$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere ${(1 - (1))}^{b}$ mit $1$ .

${(1 - (1))}^{b}$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(1 - 1)}^{b}$

Schritt 2.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{b}$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Kein absolutes Maximum

Kein absolutes Minimum

Schritt 4