Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 1.2.3.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.3.5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.3.5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.5.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 1.2.3.5.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.3.5.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.3.5.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.3.5.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Schritt 1.2.3.5.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 π - π$

Schritt 1.2.3.5.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = 3 π$

Schritt 1.2.3.6

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Schritt 1.2.3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.3.6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 1.2.3.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 1.2.3.7

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{x}{2})$ ist $4 π$ , d. h., Werte werden sich alle $4 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $\sin (\frac{x}{2})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = π$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$1$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 3 π$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $3 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.4.2.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(π, 1)$

Schritt 3

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 3.1

Berechne bei $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.2

Berechne bei $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$\sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (\frac{3 π}{4})$

Schritt 3.2.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (\frac{π}{4})$

Schritt 3.2.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(π, 1)$

Absolutes Minimum: $(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5