Analysis Beispiele

$\frac{4 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $- 8 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.4.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{1 + 2} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.10.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.5.3.1.10.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11

Multipliziere $(16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} (x^{3} + x) - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.3.1.12.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{1 + 2} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.2

Subtrahiere $16 x^{3}$ von $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 0 - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.1.12.3

Addiere $16 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.2

Addiere $- 8 x^{5}$ und $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.3.3

Subtrahiere $16 x$ von $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.4

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.1.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 1$ und ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.5.5.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Schritt 4.1.2

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.10

Vereinfache.

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Schritt 4.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} = - 4$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 5.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 5.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 5.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 5.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 5.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, - 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{8}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8 (1 - 3)}{8}$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{8 \cdot - 2}{8}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{- 16}{8}$

Schritt 9.4.2

Dividiere $- 16$ durch $8$ .

$- 2$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{4}{1^{2} + 1}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{4}{1 + 1}$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \frac{4}{2}$

Schritt 11.2.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f (1) = 2$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Schritt 13.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Schritt 13.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Schritt 13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 8 (1 - 3)}{8}$

Schritt 13.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 8 \cdot - 2}{8}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{16}{8}$

Schritt 13.4.2

Dividiere $16$ durch $8$ .

$2$

Schritt 14

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{1 + 1}$

Schritt 15.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{2}$

Schritt 15.2.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Schritt 15.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$(1, 2)$ ist ein lokales Maximum

$(- 1, - 2)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17