Analysis Beispiele

$h (x) = \sqrt[3]{x}$ , $- 8 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 1.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 1.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $h (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 1.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 1.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 1.3.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 1.3.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.3.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.3.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.3.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Werte $\sqrt[3]{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{0}$

Schritt 1.4.1.2.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.4.1.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$0$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 2

Werte die enthaltenen Endpunkte aus.

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Schritt 2.1

Berechne bei $x = - 8$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze $x$ durch $- 8$ .

$\sqrt[3]{- 8}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{- 8}$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 2.1.2.3

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$- 2$

Schritt 2.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\sqrt[3]{1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt[3]{1}$

Schritt 2.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Liste all Punkte auf.

$(- 8, - 2), (1, 1)$

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $h (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $h (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $h (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(1, 1)$

Absolutes Minimum: $(- 8, - 2)$

Schritt 4